niwayanseptiari

Smile! You’re at the best WordPress.com site ever

Soal dan Pembahasan

1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 +ax – 4=0 adalah p dan q. Jika p2 – 2pq + q2 =8a, maka

nilai a = ….

A. -8    B. -4   C. 4    D. 6    E. 8

Jawab:

x2 +ax – 4 = 0 → a =1 ; b = a ; c = -4

p + q = -b/a = -a/1 = – a ; p . q =c/a =-4/1 = – 4

p2 – 2pq + q2 =8a

(p + q)2 – 2pq – 2pq = 8a →( p2 + q2 = (p + q)2– 2pq )

(p + q)2 – 4pq = 8a

-a2– 4.(-4) = 8a

a2 + 16 = 8a

a2 – 8a + 16 = 0

(a – 4 ) ( a – 4) = 0

a – 4 = 0

a = 4

Jawabannya C

 

2. Persamaan kuadrat x2 + (m-2)x + 2m – 4=0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m

yang memenuhi adalah….

A. m ≤ 2 atau m ≥ 10              C. m < 2 atau m > 10               E. -10 ≤ m ≤ -2

B. m ≤ -10 atau m ≥ -2            D. 2 < m < 10

Jawab:

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

mempunyai akar-akar real maka D ≥ 0

D = b2 – 4 ac

(m-2)2 – 4 . 1. (2m – 4) ≥ 0

m2 – 4m + 4 – (8m – 16) ≥ 0

m2 – 4m + 4 – 8m + 16 ≥ 0

m2 – 12m + 20 ≥ 0

(m -10)(m-2) ≥ 0

nilai batas m = 10 dan m = 2

(m-10 = 0 maka m = 10 ; m -2 = 0 maka m = 2)

+ + + + – – – – – – – – – – – + + + + +

2                       10

didapat nilai m ≥ 10 atau m ≤ 2

Jawabannya A

 

3. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda

dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka

jumlah umur Amira dan bu Andi adalah ….

A. 86 tahun     C. 68 tahun    E. 58 tahun

B. 74 tahun     D. 64 tahun

Jawab:

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Misal : x = umur pak Andi

y = umur bu Andi

z = umur Amira

x + y + z = 119 …(1)

x = 28 + z ……….(2)

y = x – 6 = (28 + z) – 6

= 22 + z …(3)

masukkan (2) dan (3) ke (1)

(28 + z) +(22 + z) + z = 119

50 + 3z = 119

3z = 119 – 50

= 69

z = = 23 →umur Amira

Umur bu Andi = y = 22 + z

= 22 + 23 = 45

jumlah umur Amira dan bu Andi = z + x = 23 + 45 = 68 tahun

Jawabannya C

 

4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari

deret aritmetika tersebut adalah ….

A. 30   B. 34  C. 38  D. 42  E. 46

Jawab:

Notasi Sigma dan Barisan Deret

Hubungan Un dan Sn

Un = Sn – Sn-1

suku ke 9:

U9 = S9 – S8

Sn = 2n2 + 4n

S9 = 2 . 92 + 4. 9 = 162 + 36 = 198

S8 = 2. 82 + 4 . 8 = 128 + 32 = 160

maka: U9 = 198 – 160 = 38

Jawabannya C

5. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya

60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan

sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul

Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka biaya minimum yang harus

dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah…

A. Rp 12.000,00         C. Rp 18.000,00         E. Rp36.000,00

B. Rp14.000,00           D. Rp24.000,00

Jawab:

Program Linear

misal x =jumlah tablet kalsium

y = jumlah tablet zat besi

5x + 2y ≤ 60 , jika x = 0 maka y = 30, jika y = 0 maka x = 12 didapat titik (0,30) dan (12,0)

2 x + 2y ≤ 30, jika x = 0 maka y = 15, jika y = 0 maka x = 15 didapat titik (0,15) dan (15,0)

1000 x + 800 y, biaya minimum ?

eliminasi y:

5x + 2y = 60

2x + 2y = 30 –

3x        = 30

x          = 10

2x + 2y = 30

2y = 30 – 2x

y = 15 – x

= 15 – 10 = 5

titik potongnya (10,5)

ambil titik-titk yang lain, karena ≤ , maka ambil titik yang mendekati sumbu masingmasing:

dari sumbu y:

Dari titik (0,30) dan (0,15) , titik (0,15) yang belaku

dari sumbu x:

Dari titik (12,0) dan (15,0) , titik (12,0) yang belaku

(0,15) (12,0) (10,5)

1000 x + 800 y 12000 12000 12000

ketiganya nilainya sama sehingga nilai minimumnya adalah Rp. 12.000,00                                                                                                                      Jawabannya A

6. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.

Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ….

A. Hari ini hujan deras

B. Hari ini hujan tidak deras

C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah

D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah

E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

Jawab:

Logika Matematika

p = hari ini hujan deras

q = Bona tidak keluar rumah

~q = Bona keluar rumah

p q

~q

Kesimpulannya adalah ~p (Hari ini tidak hujan deras) ( Modus Tollens)                                                                                                                     Jawabannya B

7. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah

dikunci rapat ” adalah ….

A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci

rapat.

B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak

pergi.

C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.

D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

Jawab

Logika Matematika

Negasi kalimat berkuantor :

~(semua p) → ada/beberapa ~p

~(ada/beberapa p) → semua ~p

p = semua anggota keluarga pergi, maka ~ p = ada anggota keluarga yg tidak pergi

q = semua pintu rumah dikunci rapat, maka ~ q = ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat                                                                                  Jawaban  A

8. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak

susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh

berulang) adalah….

A. 20   B. 40  C. 80  D. 120                        E. 360

Jawab:

Peluang

Angka terdiri dari 1, 2, 3, 5, 6, 7 →6 angka

akan dibuat 4 digit angka tidak boleh berulang → XXXX

digit pertama : bisa semua angka→ 6

digit kedua : 6 -1 = 5 ( 1 angka sudah terpakai dan seterusnya…..)

digit ketiga : 5 – 1 =4

digit keempat : 4 -1 = 3

Maka banyaknya susunan bilangan dengan angka-angka yg berlainan                                                                                                                                          adalah:6 x 5 x 4 x 3= 360                                                                                                                                                                                                       Jawabannya E

9. Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik…

A. ( -6, 4 )       C. ( -1, 4 )       E. ( 5 , 4 )

B. ( 6 , 4)         D. ( 1, 4 )

Jawab:

Lingkaran

Masukkan nilai y=4 pada persamaan

(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25

(x + 6)2 = 25 – 25 = 0

x = -6

Didapat titik x = -6 dan y = 4 sehingga lingkaran menyinggung dititik (-6,4)                                                                                                        Jawabannya A

Leave a comment »

BARISAN BILANGAN dan DERET

A.    Pola Bilangan

 

Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan dengan suatu

aturan yang telah diurutkan. Macam-macam pola bilangan dengan pola-pola

tertentu sbb:

1. Bilangan asli

Barisan bilangan : 1,2,3,4,5,…

pola bilangan: n, n bilangan asli

2. Bilangan Genap

Barisan bilangan: 2, 4, 6, 8, 10, …

Pola bilangan: 2n, n bilangan asli

3. Bilangan ganjil

Barisan bilangan : 1,3,5,7,9,…

pola bilangan: 2n – 1, n bilangan asli

4. Bilangan persegi

Barisan bilangan: 1, 4, 9, 16, …

Pola bilangan: n2, n bilangan asli

5. Bilangan segitiga

Barisan bilangan : 1,3,6,10,…

pola bilangan: n (n + 1) , n bilangan asli

6. Bilangan persegipanjang

Barisan bilangan: 2, 6, 12, 20, …

Pola bilangan: n (n+1), n bilangan asli

7. Bilangan Segitiga Pascal

Barisan bilangan : 1,2,,4,8,16, …

pola bilangan: 2 n – 1 , n bilangan asli

B.     Barisan dan Deret

 

Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu.

1.      Barisan dan Deret Aritmetika

 

a. Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa

penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan:

U1, U2, U3, ….Un

a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b

Selisih(beda) dinyatakan dengan b:

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a + (n-1) b

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama →U1 = a

b = selisih/beda

Contoh soal:

Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…

Jawab:

Un = a + (n-1) b

n = 15

b = 6-2 = 10 – 6 = 4

U1 = a = 2

U15 = 2 + (15-1)4

= 2 + 14.4

= 2 + 56 = 58

 

b. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika merupakan jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.

Bentuk umum deret aritmetika:

a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b )

Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan:

Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )

contoh soal:

Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, …

Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Jawab:

Sn = (2a + (n-1) b )

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 . 100 = 500

2.      Barisan dan Deret Geometri

 

a. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa

perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan:

U1, U2, U3, ….Un

a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1

Rasio dinyatakan dengan r :

r = Un/Un-1

Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a . r n – 1

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama→U1 = a

r = rasio

Contoh soal:

Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….

Jawab:

Un = a . r n – 1

n = 10

a = 2

r = 2

U10 = 2 . 210 – 1

= 2 . 29

= 210 = 1.024

b. Deret Aritmetika

Deret Geometri merupakan jumlah suku-suku pada barisan geometri.

Bentuk umum deret geometri:

a + ar + ar2 + ar3 + … + arn – 1

Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan geometri dirumuskan dengan:

Jika Rasio (r) > 1 →Sn = a(rn-1)/r-1

Jika Rasio 0 < (r) < 1 →Sn = a(1-rn)/1-r

Leave a comment »

Permainan Loncat Katak Sebagai Media Belajar

v  TUJUAN:

Siswa dapat menemukan pola-pola barisan bilangan secara inkuiri. Sedangkan secara psikologis permainan dengan menggunakan alat peraga bertujuan untuk menumbuhkan motivasi dan minat siswa belajar matematika.

v  FUNGSI ATAU KEGUNAAN:

Untuk menemukan pola bilangan barisan bilangan dan menentukan suku ke-n barisan pola bilangan dengan cara bermain.

v  MANFAAT:

Siswa menguasai konsep barisan dan deret pola-pola bilangan.

v  SPESIFIKASI PERMAINAN LONCAT KATAK:

  • Gambar atau Bentuk
  • Alat dan bahan

Bahan yang diperlukan meliputi papan kayu setebal 3 cm, besi beton dengan diameter 10 mm sepanjang 2,5 m, cat kayu/besi. Sedangkan peralatan yang diperlukan meliputi gergaji kayu/besi, penggaris, mesin bor dan mata bor berdiameter 10 mm.

  • Cara atau petunjuk pembuatan

Papan kayu dipotong dengan ukuran 55 cm x 8 cm x 3 cm. Bagian tengah dari permukaan kayu di buat lubang sebanyak 13 buah secara garis lurus dengan jarak 4 cm dan diameter 10,5 mm. Papan kayu dicat warna biru. Besi beton dipotong dengan panjang 20 cm sebanyak 12 buah, 6 buah dicat warna hijau, dan 6 buah dicat warna ungu (besi beton yang telah dipotong serta diwarnai  merupakan ilustrasi dari katak sehingga permainan loncat katak sering juga disebut permainan loncat pasak).

v  ATURAN PERMAINAN:

  • Pindahkan dua kelompok katak yang berlainan warna, sehingga kedua kelompok katak tersebut akan bergantian tempat (kedua kelompok katak dipisahkan oleh sebuah lubang dan masing-masing kelompok berdiri berjajar).
  • Setiap kali melangkah hanya boleh mengangkat satu katak.
  • Dalam melakukan perpindahan, hanya boleh melompati satu katak yang berlainan warna atau bergeser ke lubang di dekatnya.

v  CARA KERJA:

  • Misalkan terdapat 2 kelompok katak,kelompok pertama berwarna hijau dan kelompok kedua berwarna ungu.
  • Ambil satu katak hijau yang berada paling depan, pindahkan katak tersebut dengan cara menggeser ke lubang yang ada di dekatnya.
  • Ambillah katak lainnya yang berwarna ungu melompati katak hijau yang pertama kali dipindahkan tadi.
  • Geserlah katak ungu (yang sewarna dengan katak yang melompat) ke lubang di dekatnya.
  • Ambillah katak yang berwarna hijau melompati katak di depannya, demikian seterusnya, sampai kedua kelompok katak tersebut bergantian tempat.
  • Banyaknya langkah perpindahan tergantung banyaknya pasang katak dan akan membentuk suatu pola bilangan.

v  CONTOH PERMASALAHAN:

Berapakah banyaknya geseran dan lompatan yang paling pendek yang diperlukan untuk memindahkan:1,2,3, dan seterusnya sampai n buah pasang pasak?

Leave a comment »